EXERCÍCIOS: 10 PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO
MATEMÁTICA, ENVOLVENDO A PROGRAMAÇÃO LINEAR.
Objectivo Geral: resolver
problemas de programação linear vinculados à vida real, contribuindo no
desenvolvimento de habilidades de interpretação de problemas.
Fundamentação Teórica
O exercício
é uma actividade de se volver no uso de alguma habilidade ou conhecimento
matemãtico já conhecido pelo sujeito, como a aplicação de um algoritmo ou uma
fórmula, etc.
Um
problema é toda situação que requer a desciberta de informações necessárias
como matemáticas para a pessoa tenta
resolvelas, possa as usar. Uma das maiores vantagens que os problemas
têm, é o desenvolvimento das habilidades e do pensamento lógico de quem os
revolve. É nesta senda que foram seleccionados 10 problemas em forma de
exercícios, para contibuir no desenvolvimento das habilidades na resolução de
problemas de optimização:
1.
A empresa Só Aço Ltd,
dedica-se a produção de três tipos de aço para a construção de vivendas a
saber: aço de diâmetro 8, aço de diâmetro 12 e aço de diâmetro 14. A
manufactura de cada aço requer o processamento em cada uma das duas máquinas
que a empresa possui, que estão disponíveis 40 horas por mês. O tempo de
processamento (em horas) e o lucro unitário de cada aço apresenta-se na tabela seguinte:
|
Máquina
|
Capacidade utilizada por unidade de produção
|
||
|
Aço diâmetro 8
|
Aço diâmetro 12
|
Aço diâmetro 14
|
|
|
1
|
20
|
30
|
50
|
|
2
|
50
|
20
|
40
|
|
Lucro Unitário em KZ
|
25000
|
20000
|
15000
|
A gerência da empresa pede
para apresentar o modelo matemática de programação possibilita obter um lucro
máximo durante o mês de produção.
2. Numa
fábrica são produzidos dois tipos de artigos; A e B. Os lucros unitários
associados aos artigos A e B são respectivamente 3 e 2 usd. Para a produção de
um artigo do tipo A são necessários 2 Kg de metal e 5 horas de trabalho de um
operário. Para a produção de um artigo do tipo B são necessários 4 Kg de metal
e 2 horas de trabalho de um operário. Semanalmente a fábrica pode dispor-se de
20 Kg de metal e 45 horas de laboração.
O
gerente pretende estipular o plano de produção que maximize o lucro. Formule o
problema com um modelo de Programação Linear.
3. Uma empresa de
construção precisa decidir quais tipos de cobertura a usar nas suas novas
habitações em construção. Dois possíveis tipos: chapa de zinco e fibra cimento.
No máximo 1500 unidades de chapa de zinco e no mínimo 6000 unidades de fibra
cimento podem ser usados por mês. A empresa contratou 25000 homens-hora de
trabalho por mês. Na aplicação da chapa de zinco precisamse de 10 homens por
hora de trabalho e para fibra cimento 8 homens por hora. A capacidade da linha
de montagem é de 4500 de âmbas chapas por mês. O custo unitário de aplicação de
chapa de zinco é $100, 00 por mês, enquanto a fibra cimento a sua
aplicação custa $50, 00 durante o mesmo período. Qual é o modelo de
programação que minimiza os custos da cobertura das moradias daquela empresa?
4. Uma empresa produz dois
produtos X e Y utilizando três equipamentos distintos um torno (T), uma prensa
(P) e uma furadeira (F). Cada máquina conta com 180, 240 e 600 horas
disponíveis, respectivamente, sendo que cada produto é obrigado a passar por
todas elas, O produto X passa três horas em T, duas horas em P e seis horas em
F. O produto Y passa duas horas em T, quatro em P e cinco em F. Sabendo
que o produto X é vendido por $ 60,00 Y
por $80,00 e que o custo de X é de $39,00 e o de V é de $60,00. Qual é o plano
que proporciona o melhor rendimento da empresa?
5. A BBCM é uma empresa que
fabrica dois tipos de blocos: tamanho 10 e tamanho 12. Um boneco é vendido por
R$ 27, gasta R$ 10 de matéria-prima de R$ 13 de mão-de-obra. Um bloco de
tamanho 12 é vendido por R$ 21, gasta R$ 9 de matéria-prima e R$ 10 de
mão-de-obra. A manufatura dos dois tipos de blocos requer duas operações: a
mistura de argamassa e secagem. O bloco 10 requer 1 hora de mistura e 2 horas
de secagem. O bloco 12 requer 1 hora de mistura e 1 hora de secagem. A empresa
obtém semanalmente toda a matéria-prima necessária para a sua produção. Porém,
apenas 100 horas de mistura de argamassa e 80 horas de secagem podem ser
utilizadas na confecção dos blocos.
Sabe-se, por experiência, que, no máximo, 4000 blocos 10 são vendidos
por semana.
Apresente o modelo de
programação que maximiza o lucro da empresa.
6. Considere uma planta de
manufatura capaz de produzir dois produtos P e Q, cujo lucro por unidade seja
$6,00 e $8,00, respectivamente. O processo produtivo envolve duas operações
corte e furação. Para a operação de corte há duas máquinas disponíveis e para a
operação de furação há 3 máquinas em disponibilidade. Considerando que cada
máquina opera 200horas/mês e que para produzir uma unidade do produto P sejam
necessárias 8 horas de corte e quatro de furação e para a produção de uma
unidade do produto Q sejam consumidas 4 horas de corte e 10 horas de furação.
Pede-se:
a) Quais as variáveis de
decisão?
b) Desenvolva um modelo
matemático que permita a determinação de produtos que maximize o lucro total
durante um mês (função objetivo e restrições).
7. Um vendedor de cimento
pode transportar 800 sacos de cimento para sua loja. Ele necessita transportar
exactamente 200 sacos de cimento Tunga a 200 kz de lucro por saco, pelo menos
100 sacos de cimento Lobito a 100 Kz de lucro por saco e no Maximo 200 sacos de
cimento Portland a 300 Kz de lucro por saco. Construa o modelo matemático do
problema que maximiza o lucro do vendedor.
8. Uma empresa fabrica dois
tipos de tijolos. O tipo M1 de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de
fabricação em relação ao tipo M2. Se todos os tijolos fossem do tipo M2, a
empresa poderia produzir 1000 tijolos por dia. A disponibilidade de matéria
prima permite fabricar 800 tijolos por dia. Os tijolos passam por formas
diferentes cuja disponibilidade diária é de 400 formas para o tipo M1 e de 700
para o tipo M2. Sabese que os lucros unitários são de 4000 Kz para o tipo M1 e
3000 Kz para M2.
Qual é o programa óptimo de
produção que maximiza o lucro total diário da empresa?
9.
Uma empresa de construção dispõe de 1000 hectares de terra e nelas pode
construir vivenda do tipo T2, T3 e T4. Cada hectare para construção de vivendas
do tipo T2 custa para seu estudo geotécnico de 1000 Usd, requer de 7 homens por
dia do trabalho e rende uma utilidade de 3000 Usd. Um hectare do tipo T3 custa
1200 Usd, seu estudo requer 10 homens por dia de trabalho e proporciona uma
utilidade de 4000 Usd. Um hectare para construção de vivenda do tipo T4, custa
7000 Usd, seu estudo requer 8 homens por dia de trabalho e produz uma utilidade
de 2000 Usd.
A
empresa dispõe de um orçamento de 100000 Usd para o estudo geotécnico da terra
e pode contar no minimo com 800 homens por dia de trabalho. Desejase que não
mais de 40% da terra seja construída de vivendas do tipo T4. Apresenta o modelo
de programação se maximiza as utilidades totais da empresa.
10.
Uma empresa do ramo de madeira produz madeira do tipo
compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40
de pinho e 80 de eucalipto. A
madeira serrada dá um lucro de 5 000 Kz por e a madeira
compensada dá um lucro de 2 000 Kz por . Para produzir 1 de madeira
serrada são necessários 1 de pinho e 3 de eucalipto.
Para produzir 100 de madeira
compensada são requeridos 3 de pinho e 5 de eucalipto.
Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos pelo menos 5 de madeira
serrada e 900 de madeira
compensada.
de pinho e 80 de eucalipto. A
madeira serrada dá um lucro de 5 000 Kz por e a madeira
compensada dá um lucro de 2 000 Kz por . Para produzir 1 de madeira
serrada são necessários 1 de pinho e 3 de eucalipto.
Para produzir 100 de madeira
compensada são requeridos 3 de pinho e 5 de eucalipto.
Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos pelo menos 5 de madeira
serrada e 900 de madeira
compensada.
Qual é o modelo
matemático de programação linear que maximiza o lucro da empresa?
BIBLIOGRAFIA
1. Goldbarg, M.C. Luna, H.P.L. (2005) Otimização Combinatória e Programação Linear.
Modelos e Algoritmos. 2ª Edição. Editora Campus.
2.
Hillier F. S., Lieberman G. J. (2010) Introdução à Pesquisa Operacional. 8ª
Edição. Editoras Mc Graw Hill e bookman.
3.
Taha, Hamdy A. (2008) Pesquisa Operacional: Uma Visão Geral. 8ª Edição. São
Paulo. Pearson Prentice Hall.
4.
Ramalhete, Manuel; Guerreiro, Jorge; Magalhães,
Alípio – Programação Linear,
Volume 1. Alfragide: McGraw-Hill, 1984.
5.
Tavares, L. Valadares; Oliveira,
R. Carvalho; Themido, I. Hall; Correia, F. Nunes – Investigação Operacional. Alfragide:
McGraw-Hill, 1997.
Prof. Tem criar mais uma pagina com esses exercícios resolvidos.
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