Método gráfico

MÉTODO GRAFICO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINAER.

Objectivo Geral: Resolver problemas de programação linear, usando o método gráfico a partir do seu modelo matemático.

Fundamentação teórica

O método gráfico, devido às suas limitações é usado apenas para resolução de problemas de programação linear com duas variáveis. Visto que se vai trabalhar no sistema bidimensional, o que dificulta a inserção de mais variáveis. Neste método, cada restrição corresponde a uma equação que ao ser representada no plano cartesiano é uma recta que pode ser constante, linear ou afim.

Uma das maiores vantagens é o facto deste método ser simples, precisando apenas de conhecimentos básicos como representação gráfica de rectas e também não precisa de muitas iterações para se conseguir o resultado, já a sua maior limitação tem a ver com o facto deste não ser usado na resolução de problemas com mais de duas variáveis.

Conceitos básicos

Solução viável: é uma solução em que todas as restrições e as condições de não negatividade são satisfeitas.

Solução inviável: é uma solução em que ao menos uma restrição ou uma condição de não negatividade não é satisfeita.

Região viável: é o conjunto de todas as soluções viáveis.

Solução óptima: é aquela, dentre todas as soluções viáveis, que produz o melhor (maior ou menor) valor da função objectivo.

Metodologia de Resolução

1.  Obter o modelo matemático do problema de Programação Linear.

2.  Representar as restrições no gráfico e obter a região viável.

3.  Localizar a solução óptima pelo método de ensaio-erro, isto é:

·         Obter os pontos de intersecção das restrições na região viável (ou os pontos das soluções viáveis).

·         Avalia-los na função objectivo e escolher o melhor valor para Z (máx. ou Min.)

Exemplo 1

Numa fábrica são produzidos dois tipos de produtos: A e B. os lucros unitários associados aos artigos A e B são, respectivamente, 3 e 2 USD. Para a produção de um artigo do tipo A são necessários 2 kg de metal e 5 horas de trabalho de um operário. Para a produção de um artigo do tipo B são necessários 4 kg de metal e 2 horas de trabalho de um operário. Semanalmente a fábrica dispor-se de 20 kg de metal e 45 horas de elaboração.

O gerente da empresa pede para determinara quantidade de cada produto em kg, que se deve produzir de modo a obter um lucro máximo.

Solução

1. Apresentação do modelo matemático do problema:

Definição das variáveis

: Quantidade em kg do produto A

: Quantidade em kg do produto B

Função objectivo

Sujeito a:

2. Resolução do modelo pelo método gráfico:

Aplicando o método gráfico e, como resultado das restrições do modelo matemático, obtêm-se duas rectas abaixo representadas.

 

                             

           

Identificada a região viável, obtêm-se os seguintes pontos:

Buscando as coordenadas do ponto B pela intersecção das rectas  e , vem:

Resolvendo o sistema, obtêm-se as soluções . Achando os valores da função objectivo nos pontos encontrados, tem-se:

Como , então o ponto óptimo é .

R: Para maximizar o lucro da fábrica, é necessário produzir 8,75 kg do produto A e 0,625 kg do produto B, para se obter um lucro de 27,5 Usd.

Exercício

1.  Uma empresa fabrica os produtos A e B que são vendidos a $20 e $30 por unidade, respectivamente. Para a fabricação de uma unidade de A é necessário 1 hora da máquina 1 e 3 horas da máquina 2, enquanto que para fabricar uma unidade de B são necessárias 3 horas da máquina 1 e 4 horas da máquina 2.

A empresa possui 2 horas para máquina1 e 4 horas para máquina2. Para produzir 1 unidade de A, gasta-se $12/ unidade e para B $20 unidades.

Determine a quantidade de cada produto, de modo que o lucro da empresa seja maximizado.

Conclusão

Conclui­se que o método gráfico permite solucionar problemas de optimização, com muita facilidade e sem muitos rodeios.

BIBLIOGRAFIA

1.    Goldbarg, M. C., & Luna, H. P. (2005). Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. 2ª Edição. Rio de Janeiro: Elsevier.

2.    Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (2010). Introdução à Pesquisa Operacional. Porto Alegre: McGraw-Hill e bookman.

3.    TAHA, H. A. (2008). Pesquisa Operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall.