Optimização

Objectivo Geral: Resolver problemas de problemas de programação linear, envolvendo a optimização.

Fundamentação

A busca de uma solução mais adequada entre diversas soluções alternativas traz consigo os elementos de um Problema de Optimização:

Um critério de avaliação das soluções alternativas, o qual nos permite dizer que uma solução é “melhor” que outra (objetivo ou subjetivo). A este critério de avaliação chamamos de função objetivo, que buscamos optimizar, ou seja, maximizar ou minimizar.

Por outro lado, as soluções alternativas devem ser passíveis de execução indicando a presença de restrições que devem ser respeitadas.

Em problemas optimização, maximiza-se os lucros ou usos dos recurso e minimixa-se custos, sobras, tempo ou distancias.

Em problemas optimização usa-se modelos de programação lineares que apresenta as seguintes etapas que compõem  expressão matemática:

1.  Variáveis de decisão:  
2. Função objectivo:
3. Restrições:

4. Condição de não negatividade:

• As Variáveis de decisão:   são niveis de actividades.
• A Função objectivo  (F.O) Z é a medida de eficiencia do sistema ou seja do modelo.

• Os valores  são taxas de atribuição unitária de actividade de 1 a n.
• Os valores  são disponibilidades de recursos de 1 a n.
• A expressão   é o coeficiente tecnológico e  indica a quantidade i, consumida por j.
• n é o número de actividades no modelo.
• m é o número de restrições no modelo.

Exemplo: Deseja-se prepara uma argamassa que contenha no mínimo 7 kg de  areia,  9 litros de água  e 1 kg de cimento portland. Apresente o modelo matemático de programação linear que minimiza os custos dos ingredientes necessários para satisfazer a necessidade da elaboração desta argamassa, sabendo que os produtos têm duas origens com quantidades e custos diferentes conforme se pode observar na tabela abaixo:

Produtos	Origens		Quantidade  Mínima
	AS	OM
Areia	2	3	7
Água	3	2	9
Cimento	1	0	1
Custo	60 Usd	30 Usd	.....

Resolução:

1.  Variáveis de decisão.

     x1 = quantidade de produto da origem AS.

     x2 = quantidade de produto da origem OM.

2. Função Objectivo:

       MinZ = 65x1 + 30x2

3. Restrições

2x1 + 3x2   7 3x1 + 2x2   9        x1               1

2x1 + 3x2   7

3x1 + 2x2    9           =>                  

1x1 + 0x2  1

4. Não negatividade

x1  0 e  x2  0.

BIBLIOGRAFIA

1. Goldbarg, M.C. Luna, H.P.L. (2005) Otimização Combinatória e Programação Linear. Modelos e Algoritmos. 2ª Edição. Editora Campus.

2.  Hillier F. S., Lieberman G. J. (2010) Introdução à Pesquisa Operacional. 8ª Edição. Editoras Mc Graw Hill e bookman.

3. Taha, Hamdy A. (2008) Pesquisa Operacional: Uma Visão Geral. 8ª Edição. São Paulo. Pearson Prentice Hall.

4. Ramalhete, Manuel;  Guerreiro, Jorge; Magalhães, Alípio – Programação Linear, Volume 1. Alfragide: McGraw-Hill, 1984.

5. Tavares, L. Valadares; Oliveira, R. Carvalho; Themido, I. Hall; Correia, F. Nunes – Investigação Operacional.  Alfragide: McGraw-Hill, 1997.